使用四探針法測量方塊電阻

方塊電阻（又稱表面電阻或表面電阻率）是表征導電和半導體材料薄膜的一種常見電學特性。它用于衡量通過材料薄方塊的橫向電阻，即方塊相對兩邊之間的電阻。方塊電阻相較于其他電阻測量的關鍵優勢在于，它與方塊的尺寸無關，這使得不同樣品之間的比較變得簡單。

方塊電阻可通過四探針輕松測量，且在高效鈣鈦礦光電器件的制備中至關重要，這類器件需要低方塊電阻材料來提取電荷。

一、方塊電阻的應用

方塊電阻對于任何旨在讓電荷沿其表面（而非穿過）傳輸的材料薄膜而言，都是一項關鍵特性。例如，薄膜器件（如鈣鈦礦太陽能電池或有機發光二極管）需要導電電極，這些電極的厚度通常在納米到微米范圍內。電荷在發光二極管器件內的移動過程中，電極必須橫向傳輸電荷，且需要低方塊電阻以減少傳輸過程中的損耗。當試圖擴大這些器件的尺寸時，這一點變得更為重要，因為電荷在被提取前需要在電極中傳輸更遠的距離。

顯示電流通過電極橫向流向活性材料。電極的方塊電阻會影響到達發光二極管的電流大小，進而影響其性能。

此外，若已知方塊電阻和材料厚度，還可計算出電阻率和電導率。這使得僅通過方塊電阻測量就能對材料進行電學表征。

二、四探針法測量方塊電阻

（一）基本原理

測量方塊電阻的主要技術是四探針法（又稱開爾文技術），該方法通過四探針儀實現。四探針儀由四個等間距、共線的電探針組成。

四個探針間距相等（s），與表面接觸。電流（I）通過探針1注入，通過探針4收集，同時在探針2和3之間測量電壓。

其工作原理是在外側兩個探針之間施加直流電流（I），并測量內側兩個探針之間產生的電壓降。

（二）方塊電阻公式

方塊電阻可通過以下公式計算：

其中，Rs 方塊電阻，ΔV 為內側探針之間測量的電壓變化，I為外側探針之間施加的電流。方塊電阻的測量單位通常為Ω/□（歐姆/方塊），以區別于體電阻。

需要注意的是，該公式僅在以下條件下有效：

1. 被測材料的厚度不超過探針間距的40%

2. 樣品的橫向尺寸足夠大

若不滿足上述條件，則需要引入幾何校正因子，以考慮樣品的尺寸、形狀和厚度的影響。校正因子的值取決于所使用的幾何結構。

若已知被測材料的厚度，可利用方塊電阻計算其電阻率：

其中， ρ 為電阻率， t 為材料厚度。

（三）消除接觸電阻

使用四探針法進行電學表征的主要優勢之一是能夠消除測量中的接觸電阻和導線電阻。

顯示導線電阻 (RW)、接觸電阻(RC)和樣品電阻(RS)。箭頭表示電流流向。

施加的電流I通過外側探針進出樣品，并在樣品中流動。電壓表通常具有高阻抗，以避免影響被測電路，因此內側兩個探針中無電流流過。僅測量內側探針之間的電壓，這意味著導線電阻（RW2 和 RW3）和接觸電阻（RC2 和RC3）不會對測量產生影響。因此，測量到的電壓降（ΔV）由樣品電阻（RS2）引起。這簡化了方塊電阻公式，只需ΔV和施加的電流即可計算出 RS2（即方塊電阻）。

三、幾何校正因子

上述方塊電阻公式與樣品幾何形狀無關，但這僅適用于樣品尺寸顯著大于探針間距（通常尺寸為探針間距的40倍以上），且樣品厚度小于探針間距40%的情況。若不滿足這些條件，探針之間可能的電流路徑會因靠近樣品邊緣而受到限制，導致方塊電阻被高估。為解決這一問題，需要基于樣品幾何結構引入校正因子。

（一）圓形樣品

對于直徑為d的圓形樣品，在樣品中心測量時，校正因子可通過以下公式計算：

其中， s為探針間距。當d >> s 時，該公式的值趨近于1，此時可使用未校正的公式。

（二）矩形樣品

對于矩形樣品，幾何校正因子的確定稍復雜，沒有現成公式，需使用經驗確定的校正因子表。該表中的值僅適用于探針在樣品中心接觸，且與樣品最長邊（l）平行對齊的情況。

l ≥ w

例如，假設上圖中的矩形樣品長邊l=20mm，短邊w=10mm，所使用探針的間距S=2mm。此時，l/w=2，w/s=5，在表中查找滿足這兩個值的校正因子，即l/w=2列和w/s=5行對應的校正因子C=0.7887。將測量得到的方塊電阻乘以該值，即可得到樣品的正確方塊電阻。

并非所有樣品都能符合這些類別。若遇到這種情況，建議使用三次樣條插值法估算樣品的合適校正因子。

需要注意的是，上述圓形和矩形樣品的校正因子僅適用于在樣品中心進行的測量。若測量不在中心位置，則需要使用不同的校正因子。

（三）其他形狀和探針位置

對于不同形狀的樣品以及非中心位置的測量，需要使用其他校正因子。

若樣品形狀不規則，可考慮其更接近矩形還是圓形，然后估算該形狀能容納的樣品尺寸。

（四）厚樣品

若被測樣品的厚度大于探針間距的40%，則需要額外的校正因子。所使用的校正因子取決于樣品厚度（t）與探針間距（s）的比值，部分可能的值如下表所示：

與矩形樣品一樣，若t/s不等于表中給出的值，建議使用三次樣條插值法估算樣品的合適校正因子。

四、探針公式推導

為確定如何使用四探針測量薄膜的方塊電阻，需先評估一個簡化場景。假設有一個極尖的探針與導電材料的半無限體積（除朝向探針的方向外，所有方向均無限延伸）接觸并注入電流（通過施加電壓）。

綠色半球是半徑為r的注入電流殼層

電流從接觸點向外流過同心半球形等勢殼層，每個殼層的電流密度（J）為：

其中，r為到探針的徑向距離（2πr2 為半球的表面積）。應用歐姆定律（E = ρJ），其中每個殼層的電場等于殼層厚度上的電壓降，即-ΔV / Δr （該術語為負，因為電壓隨r增大而減小），且殼層厚度趨近于零，得到以下方程：

對r到r'積分可得：

應用當r趨近于無窮大時V趨近于零的邊界條件，方程簡化為：

現在假設有四個極尖的探針（標記為1至4）與半無限導電材料接觸，它們共線且間距相等（s）。設置為通過探針1注入電流，由探針4收集電流。若假設每個探針具有等效邊界條件，則任意點的電壓等于每個探針單獨產生的電壓之和，即：

其中，r1和r4分別是到探針1和探針4的徑向距離。在探針2和3之間測量電壓。使用上述方程，探針2和3處的電壓分別為：

因此，探針2和3之間的電壓變化（ΔV）為：

因此，探針之間的電阻率為：

該表達式僅適用于半無限體積的情況，不適用于薄膜。但可通過類似分析推導新的表達式。同樣，假設有一個極尖的探針與厚度為t的材料薄膜接觸并注入電流。

綠色圓柱是半徑為r的注入電流殼層

在這種情況下，電流從探針（通過材料）流過短圓柱形等勢殼層，每個殼層的電流密度為：

應用與之前相同的電場條件（歐姆定律和殼層厚度趨近于零），每個殼層的電場為：

已知電阻率定義為方塊電阻乘以材料厚度，因此可代入上式得到：

對r和r'積分可得：

與之前不同，不能假設當r趨近于無窮大時電壓趨近于零，因為無窮大的自然對數不為零。但這并不影響分析，因為四探針測量的是不同點之間的電壓差(ΔV) 。

現在考慮與薄膜接觸的四探針系統，附加條件是薄膜厚度（t）遠小于探針間距（s）。對于由探針1注入電流并由探針4收集電流的情況，方程變為：

在探針2和3處測量的電壓因此為：

因此，電壓變化為：

整理可得：

因此，通過測量內側探針之間的電壓變化和外側探針之間施加的電流，可測量樣品的方塊電阻。

五、       快速準確的方塊電阻測量

Ossila四探針儀使薄膜的方塊電阻、電阻率和電導率測量變得快速簡便。

- 可在100mΩ/□至10MΩ/□的廣泛范圍內測量方塊電阻，實現對各種材料的精確表征。

- 通過平衡正負電流以消除電壓偏移來計算平均方塊電阻，顯著提高測量精度。

- 可表征直徑達6英寸（152.4mm）的大樣品。大樣品對校正因子的依賴性更小，測量更準確。

- 通過PC使用免費且直觀的Ossila方塊電阻精簡軟件實現無縫控制。

- 為增加多功能性，可選擇Plus型號，其內置軟件和顯示屏，無需PC即可表征樣品。